Le mur de l'infini

Un pressentiment de l’infini ? 

Lorsque nous levons les yeux vers le ciel, nous contemplons des milliers d’étoiles formant des figures géométriques apparemment immuables nommées constellations. Mais une simple lunette astronomique nous permet d’observer des millions d’étoiles invisibles à l’œil nu. Et ce n’est qu’un début ! Car les grands télescopes spatiaux actuels (Hubble et James-Webb) nous présentent un panorama tellement vaste que nous y perdons pied. En effet, selon les données les plus récentes, l’univers serait composé au minimum de 2000 milliards de galaxies comportant chacune des centaines de milliards d’étoiles !

Et ces estimations gigantesques s’actualisent d’année en année avec la montée en puissance de nos instruments. C’est pourquoi nous pouvons légitimement nous poser les questions suivantes : l’univers est-il fini ? Contient-il un nombre fini ou infini d’étoiles ? Et qu’en est-il de sa taille ? L’univers s’étend-t-il indéfiniment ou bien existe-il une limite au delà de laquelle il n’existe plus rien ?

Cependant, en dépit de prodigieuses avancées scientifiques (notamment la théorie de la relativité générale élaborée puis publiée par Albert Einstein en 1915) nos astrophysiciens s’avèrent incapables d’apporter des réponses définitives à ces questions cruciales.

C’est assez dire que, même si dans petit coin de notre conscience quelque chose nous dit que l’infini doit bien exister quelque part, ce n’est pas du tout un sujet facile !

L’infini en mathématique 

Dès l’antiquité (voir un peu plus loin le paragraphe consacré au paradoxe de Zénon) la notion d’infini a intrigué les savants, les mathématiciens et les philosophes. C’est pourquoi, tournons nous un instant vers les mathématiques pour tenter d’approcher la notion d’infini.

L’infini se rencontre en géométrie. Telle que nous nous la représentons, une droite est infinie, c'est-à-dire qu’elle se prolonge sans limite dans un sens comme dans l’autre :

En algèbre, chacun d’entre-nous connait la suite des nombres entiers

1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10 ; 11 ; 12 ; 13 ; 14  ...

Dans cette suite, chaque nombre entier possède un successeur. Cette suite s’étend donc sans limite de sorte qu’il est impossible de compter tous ses termes. Il y en a donc une infinité !

Tout ceci se comprend aisément et pourtant l’infini mathématique est bien plus subtil qu’il y paraît à première vue. C’est ce que je vous propose  à présent de découvrir.

L’addition et l’infini

L’addition est une opération simple et bien connue. Et pourtant, elle recèle des secrets qui valent le détour. Par exemple celui-ci : est-il possible d’additionner une infinité de termes ? Impulsivement, nous sommes tentés de répondre non ! Mais l’impulsivité est une mauvaise conseillère. Car c’est possible et nous allons en apporter la preuve au moyen de quelques petits calculs.

Il existe en effet une formule algébrique bien connue de chaque lycéen (en principe) et qui permet d’ajouter un nombre fini de puissances d’un même nombre :

Pour appliquer cette formule, nous pouvons choisir de remplacer le nombre k par une valeur numérique de notre choix, par exemple 1 / 2. Et voilà ce que nous obtenons :

Côté gauche nous utilisons la loi des puissances qui permet de « distribuer » l’exposant au numérateur et au dénominateur de la fraction 1 / 2 tandis que du côté droit nous remplaçons 1 /2 par sa forme décimale soit 0,5. Et voici ce que nous obtenons :

Le moment critique est à présent arrivé : nous allons faire « tendre n vers l’infini » de chaque côté de cette égalité. Cela signifie que allons imaginer que n prends des valeurs de plus en plus grandes, immensément grandes et même situées au-delà de toute limite.

Côté gauche, nous obtenons une somme qui comporte une infinité de termes :

Côté droit, que devient le terme  0,5^{n +1} lorsque « n tend vers l’infini » ? Examinons un instant ce tableau :

Il est clair que lorsque la valeur de l’exposant n augmente le terme  0,5^{n +1} se rapproche rapidement de 0. De fait, lorsque « n tend vers l’infini » ce terme « tend vers 0 » de sorte que le côté droit de notre égalité initiale a pour limite 1 / 0,5 soit 2.

En égalant ce que nous avons obtenu pour le côté gauche et pour le côté droit nous obtenons une bien curieuse égalité :

Egalité que nous pouvons un tout petit peu simplifier en enlevant 1 de chaque côté avec pour résultat final :

Résultat remarquable en vérité puisque nous venons de montrer qu’une somme comportant un nombre infini de termes peut donner un résultat fini !

Et ce n’est pas fini …

Le paradoxe de Zénon

Le philosophe grec Zénon d’Elée (-490 ; -425) était un esprit curieux. Il est l’auteur d’une série de paradoxes dont l’un est resté célèbre : le paradoxe d'Achille et de la tortue.

Zénon imagine une course entre le héros grec Achille et une tortue. Beau joueur, Achille accorde une confortable avance à la tortue. A priori, personne ne peut douter du résultat de la course : Achille rattrapera la tortue, la dépassera et gagnera la course. Et pourtant, c’est loin d’être évident  …

Voyons cela de plus près. Le signal du départ est donné. Achille s’élance et atteint le point où se trouvait la tortue au moment du départ. Mais pendant le laps de temps nécessaire à notre coureur pour parvenir à ce point, la tortue a parcouru une certaine distance de sorte qu’Achille, au terme de cette première étape, se trouve encore derrière la tortue.

Achille continue sa course et parvient au nouveau point atteint par la tortue mais, entre-temps, celle-ci a encore fait du chemin de sorte que notre héros se trouve encore derrière la tortue. Et ainsi de suite. Cette description est à vrai dire stupéfiante car elle suggère qu’Achille ne rattrapera jamais la tortue !

Pour tenter de venir à bout de ce paradoxe, aidons-nous d’une représentation graphique. Toutefois, compte-tenu de la grande différence entre la vitesse d’Achille et celle du reptile, une telle représentation graphique ne serait guère lisible.

C’est pourquoi je vous propose d’examiner la situation suivante : deux coureurs respectivement vêtus l’un d’un maillot rouge et l’autre d’un maillot vert s’affrontent. Nous supposerons que la vitesse du coureur rouge est de 10 m/s et que celle du coureur vert est de 5 m/s.

Le coureur rouge est donc deux fois plus rapide que le coureur vert. De ce fait, à titre de compensation, il laisse à son concurrent une avance de 100 m.

Voici donc la situation initiale :

Etape 1 :

Le signal du départ est donné. Le coureur rouge quitte sa position initiale A et atteint le point où se trouvait le coureur vert : B. Il a donc parcouru 100 m ce qui lui prend 10 s. Mais pendant ce temps, le coureur vert a quitté sa position et a parcouru une distance deux fois plus petite (car sa vitesse est deux fois moindre) soit 50 m. Il se trouve à présent en C.

Etape 2 :

Le coureur rouge quitte la position B et atteint le point où se trouvait le coureur vert : C. Il a donc parcouru 50 m ce qui lui prend 5 s. Mais pendant ce temps, le coureur vert a quitté la position C et a parcouru une distance deux fois plus petite soit 25 m. Il se trouve à présent en D.

Vous pouvez imaginer la suite : dans l’étape 3, le coureur rouge quitte C et arrive en D. Il a donc parcouru 25 m ce qui lui prend 2,5 s. Mais pendant ce temps, le coureur vert a parcouru une distance deux fois plus petite soit 25 ÷ 2 = 12,5 m. Le coureur rouge se trouve donc toujours derrière le coureur vert !

Et ainsi de suite. Il nous semble donc impossible que le coureur rouge, en dépit de sa vélocité, rattrape le coureur vert. Tel est le paradoxe exposé par Zénon.

Et pourtant nous savons bien, par expérience, que le coureur rouge rattrapera le coureur vert. Poursuivons donc nos investigations. Pour commencer, examinons Le tableau suivant résume ce que nous avons constaté :

Combien de temps faudrait-il au coureur rouge pour rattraper le coureur vert ? En toute logique, si cette durée existe, nous pouvons la calculer en additionnant les durées des différentes étapes :

Nous pouvons remarquer que la durée de chaque étape s’obtient en divisant la précédente par 2 de sorte que les différentes durées se calculent en divisant la première (10) successivement par 2, 4, 8, 16 …  

Une petite factorisation s’avère nécessaire :

Or, nous avons vu précédemment que :

Par conséquent :

Ainsi, le coureur rouge rattrape effectivement le coureur vert au bout de 20 s. Nous voilà rassurés !

Cependant, un mystère subsiste. Le raisonnement présenté par Zénon paraît irréprochable et semble  « démontrer » que le coureur rouge ne peut rattraper le coureur vert.  Et pourtant, armés de notre bon sens mais aussi des outils algébriques précis que nous avons utilisés, nous aboutissons à une toute autre conclusion : le coureur rouge rattrape bel et bien le coureur vert !

Comment expliquer cette apparente contradiction ? D’étape en étape, les distances parcourues par le coureur rouge s’ajoutent. Mais à chaque nouvelle étape, la distance ajoutée est plus petite que la précédente. Toutes les distances parcourues s’accumulent mais, à partir d’un certain rang, la contribution des nouvelles distances devient si « microscopique » qu’elle ne fait qu’ajouter un très minime « correctif » qui permet seulement d’approcher une valeur limite qui sera effectivement atteinte au terme d’un nombre infini d’étapes.   

Ouf ! J’espère avoir réussi à vous faire pressentir au moyen de ces quelques mots qu’en ajoutant un nombre infini de termes nous pouvons obtenir un résultat fini à condition que la « loi de décroissance » des termes soit suffisamment vigoureuse.

 Un pas de plus vers l’infini : la série de Grandi

Allons plus loin. Le mathématicien et philosophe italien Luigi Guido Grandi (1671-1742) étudia une série infinie qui porte son nom. Cette série, en apparence très simple, est la suivante :

Nous pouvons calculer le résultat en utilisant les deux méthodes suivantes :

Méthode 1 : nous groupons les termes deux par deux

Dans chaque paire de parenthèses, nous trouvons 0 de sorte que finalement :

Méthode 2 : nous isolons le premier terme et nous groupons les termes suivants deux par deux :

Dans chaque paire de parenthèses, nous trouvons 0 de sorte que finalement, il ne reste que le premier terme. D’où :

Ainsi donc, en utilisant deux méthodes de calcul différentes pour calculer la somme de la série de Grandi, nous obtenons deux résultats différents ! Par ailleurs, il existe encore une troisième méthode tout aussi simple que les précédentes mais que nous ne décrirons pas afin de ne pas alourdir cet exposé. Et le résultat est alors 1 / 2. Cette situation ubuesque montre que dès que nous cherchons à comprendre l’infini, quelque chose échappe à notre sagacité intellectuelle et nous plonge dans la perplexité.

Qui se frotte à l’infini s’y pique !

Un curieux résultat obtenu par Srinivasa Ramanujan

Nous avons déjà évoqué les travaux du mathématicien indien Srinivasa Ramanujan dans notre précédent exposé « La bosse des maths ».

Ce jeune et génial mathématicien s’est intéressé à la somme suivante :

A l’évidence, cette somme comporte une infinité de termes de plus en plus grands. A priori, le « résultat » ne saurait donc être  que « l’infini ».

Mais Ramanujan a imaginé une extension de l’addition qui nous est familière. Une sorte « d’hyper addition » qui permet de donner un sens à ce genre de somme. Après tout, ce n’est guère étonnant. La science toute entière progresse d’extension en extension. A titre d’exemple, nous avons appris à ajouter des nombres entiers puis, par extension, nous avons appris à ajouter des fractions.

Et selon l’hyper addition imaginée par ce mathématicien visionnaire, le résultat est le suivant :

Tout comme en mécanique quantique (branche de la physique qui étudie les propriétés de la matière au niveau atomique) tout ceci semble défier le bon sens : une somme de nombres entiers positifs a le toupet de donner comme résultat une fraction négative !

Or, en 1948, le physicien néerlandais Hendrik Casimir a prédit un curieux  phénomène qui porte son nom : l’effet Casimir. De quoi s’agit-il ? Ce physicien a constaté que deux plaques conductrices placées dans le vide l’une contre l’autre s’attiraient.

Casimir entreprit de calculer cette force d’attraction mais, parvenu au terme de ses calculs, il obtint un résultat infini, ce qui est physiquement inacceptable. Toutefois, la formule algébrique obtenue comportait une séquence du type 1 + 2 + 3 + 4 + … qui était à ‘origine de l’infinitude du résultat. Se souvenant de la sommation de Ramanujan, il remplaça cette séquence par la valeur -1 / 12 et obtint un résultat fini qui s’avéra par la suite conforme aux vérifications expérimentales qui ont été pratiquées !

L’infini véritable

A propos des séries divergentes (sommes ayant une infinité de termes et pas de résultat fini comme 1 + 2 + 3 + 4 + …) l’éminent mathématicien norvégien Niels Abel disait :

"Les séries divergentes sont une invention du diable."

Il est vrai que les quelques exemples présentés dans cet exposé (notamment la série de Grandi et la série de Ramanujan) sont déstabilisants. Nous atteignons l’extrême limite de ce que nos facultés intellectuelles nous permettent de saisir. Nous pouvons certes intuitivement en pressentir un petit quelque chose mais pas davantage. L’infini véritable, dont l’infini mathématique n’est qu’un pâle reflet, nous échappe. C’est une notion qui est hors de portée de notre compréhension intellectuelle humaine. Mais Niels Abel, qui avait bien compris que nous étions confrontés à une limite infranchissable, une sorte de « MUR DE L’INFINI », avait tort d’y voir une diablerie.

Car l’infini véritable est un attribut de Dieu

Et il est de même pour l’éternité

L’univers est fini

La création est finie

Dieu seul est infini

Le seul but de ce blog est de vous faire connaître l’Œuvre « DANS LA LUMIERE DE LA VERITE ». C’est pourquoi j’aimerais, pour une fois, extraire de cette Œuvre une courte citation :

 « Mais combien limitée est la faculté de compréhension cérébrale toujours étroitement liée à l’espace et au temps. Le cerveau humain est déjà incapable de concevoir les seules notions d’éternité et d’infini ; ces notions précisément qui sont indissolubles de la divinité. »

(Tome I, exposé « QUE CHERCHEZ-VOUS ? »)

Symbole de l’infini

Ce symbole a été inventé par le mathématicien anglais John Wallis en 1655. Ce brillant mathématicien n’a cependant  jamais expliqué pourquoi il avait choisi cette forme particulière.

Mais le même symbole, présenté verticalement, évoque le sablier avec lequel nous pouvons, cycle après cycle,  nous immerger dans le temps. Ce symbole est donc relié à l’éternité :

Mais qu’obtenons-nous par L’UNION de ces deux symboles ? Une figure que vous avez certainement reconnue et qui laisse entrevoir, ancrée en elle, la forme divine de la croix à branches égales :

Cependant, la Nature parle le langage de Dieu ! Il ne tient qu’a nous de discerner dans les signes visibles et tangibles qu’elle nous présente, les messages qu’elle adresse à notre esprit  C’est ainsi que, dans le trèfle à 4 feuilles, nous retrouvons le symbole de l’infini, celui de l’éternité et la croix à branches égales.   

A différentes époques, certaines personnes particulièrement sensibles, ont  ressenti que le trèfle à 4 feuilles pouvait « porter chance » à celui ou celle qui le cueille et le recueille. Une fort belle intuition en vérité, car qu’est-ce que la chance, sinon la Providence divine qui ne cesse de veillez sur nous et de guider nos pas ?

Conserver précieusement un trèfle à 4 feuilles entre les pages d’un vieux livre n’est donc pas une superstition mais une lumineuse intuition qui témoigne du fait que, l’espace d’un instant, notre esprit libéré de la pesanteur de la vie quotidienne, a pressenti la haute signification de ce symbole !

Epilogue

Je ne suis pas écrivain. J’ai rédigé cet exposé pour attirer votre attention sur une Œuvre de Très Haute Spiritualité intitulée « DANS LA LUMIERE DE LA VERITE ». Sans les connaissances contenues dans cet ouvrage, il ne m’aurait pas été possible d’élaborer cet exposé. Vous qui êtes un chercheur, je vous renvoie à ces écrits qui éclaireront votre âme avec Sagesse et Bonté.

Un livret de présentation de cette Œuvre est téléchargeable en cliquant sur le lien suivant :

http://ahp.li/e9163a26260004a5745a.pdf

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